Phương pháp giải:

- Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 2{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 2}}{{{{\left( { - x + m + 1} \right)}^2}}}\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) =  - 2{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x - {m^2} + 2 \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\Delta ' = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - 2{m^2} + 4 = 2{\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi m.

Gọi \({x_1} \le {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\), ta có BXD :

Dựa vào BBT ta thấy : Để \(g\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) thì \(\left( {2; + \infty } \right) \subset \left( {{x_2}; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow {x_1} \le {x_2} \le 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 4\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right.\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2} - 2}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right) \le 4\\\dfrac{{{m^2} - 2}}{2} - 4\left( {m + 1} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 2\\{m^2} - 2 - 8m - 8 + 8 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} - 8m - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 4 + 3\sqrt 2 \\m \le 4 - 3\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 4 - 3\sqrt 2 \end{array}\)  

Chọn B.