Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm N

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) tại \(A \in \left( {O,R} \right)\)\( \Leftrightarrow OA \bot \Delta \) tại A

Lời giải chi tiết:

Ta có \(N\left( {1;n} \right)\,\,\,\left( {n < 0} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow 1 + {n^2} - 3 - n = 0 \Leftrightarrow {n^2} - n - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2\,\,\,\,(ktm)\\n =  - 1\,\,\,(tm)\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {1; - 1} \right)\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IN}  = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\) 

d là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại N \( \Rightarrow IN \bot d \Rightarrow \overrightarrow {IN} \) là 1 VTPT của d

\( \Rightarrow \)  Phương trình d: \( - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) - \frac{3}{2}\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 2 = 0\)

Chọn D.