Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Vi-ét và công thức lượng giác để tính \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }}\)

Áp dụng công thức \({\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}\) tính \({\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\) theo p,q

Nhân và chia biểu thức P cho \({\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0,\) biến đổi để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - px + q = 0{\rm{ }}\,\,\left( {q \ne 1} \right)\)

Theo định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha  + \tan \beta  = p\\\tan \alpha .\tan \beta  = q\end{array} \right. \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{p}{{1 - q}}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}}} = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\)

 \(\begin{array}{l}q \ne 1 \Rightarrow \frac{{\sin \alpha .\sin \beta }}{{\cos \alpha .\cos \beta }} \ne 1 \Rightarrow \sin \alpha .\sin \beta  \ne \cos \alpha .\cos \beta \\ \Rightarrow \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta  - \sin \alpha .\sin \beta  \ne 0\\ \Rightarrow P = {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\left[ {1 + p.\frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}} + q.\frac{{{{\sin }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}} \right]\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\left[ {1 + p.\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) + q.{{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)} \right]\\ = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}\left[ {1 + \frac{{{p^2}}}{{1 - q}} + \frac{{{p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}} \right] = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}\left( {1 - q} \right) + {p^2}q}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - q} \right)}^2} + {p^2}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} = 1.\end{array}\) 

Chọn C.