Phương pháp giải:

Xét các trường hợp \({m^2} \ge 4;\,\,\,{m^2} < 4.\) 

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2\)

Với  \(m = 1\) ta có phương trình  \( - 3{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = 0\).

Có \(f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) =  - 2 < 0 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm trong \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Với \(m = 2\) ta có  phương trình \({x^3} + {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x \approx  - 1,69 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm.

Với \(m \ge 3\) , ta có \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = \left( {{m^2} - 5} \right){x^4} + {\left( {{x^2} + \frac{x}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{x^2} + 2 > 0 \Rightarrow \) phương trình trên vô nghiệm.

Tổng các giá trị \(m\)  thỏa mãn bài toán là: \(1 + 2 = 3.\)

Chọn B.