Phương pháp giải:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3\sin x + 4\cos x - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - {m^2}\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = 3\sin x + 4\cos x - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - {m^2}\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R},\)  ta xét:

- Với \(m = 0\)  thì \(f\left( x \right) = 3\sin x + 4\cos x - {x^2}\)  có \(f\left( 0 \right) = 4;f\left( \pi  \right) =  - 4 - {\pi ^2}\)

      \( \Rightarrow f\left( 0 \right)f\left( \pi  \right) =  - 4\left( {4 + {\pi ^2}} \right) < 0 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm trong \(\left( {0;\,\,\pi } \right).\)

- Với \(m =  \pm 1\) thì \(f\left( x \right) = 3\sin x + 4\cos x - 2{x^2} - 1\)  có  \(f\left( 0 \right) = 3;f\left( \pi  \right) =  - 5 - {\pi ^2}\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right)f\left( \pi  \right) =  - 3\left( {5 + {\pi ^2}} \right) < 0 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\,\,\pi } \right).\)

- Với \(m =  \pm 2\) thì  \(f\left( x \right) = 3\sin x + 4\cos x - 5{x^2} - 4\)  có \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \) phương trình có nghiệm \(x = 0.\)

- Với \(\left| m \right| \ge 3\) thì  \(f\left( x \right) = 3\sin x + 4\cos x - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - {m^2} \le \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}  - 9 < 0\)

\( \Rightarrow \)  phương trình trên vô nghiệm.

Vậy có 5 giá trị của \(m\) thõa mãn.

Chọn C.