Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\)

Thể tích khối cầu bán kính \(R\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\)  và \(O\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\). Khi đó \(OH = r;AH = 3OH = 3r\).

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(\angle C = 60^\circ  \Rightarrow \tan \angle C = \frac{{AH}}{{HC}} \Rightarrow \tan 60^\circ  = \frac{{3r}}{{HC}} \Rightarrow HC = \sqrt 3 r\)

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AH\) ta được một hình nón có bán kính \(HC = \sqrt 3 r\) và chiều cao \(AH = 3r.\) Suy ra thể tích khối nón thu được là \({V_n} = \frac{1}{3}\pi H{C^2}.AH = 3\pi {r^3}\)

Khi quay hình tròn \(\left( {O;r} \right)\) quanh \(AH\) ta được khối cầu có diện tích là \({V_c} = \frac{4}{3}\pi {r^3}\)

Vậy khi \(\left( {O;r} \right)\), cắt bỏ phần hình tròn và cho hình phẳng thu được quay quanh \(AO\) thì thể tích khối tròn xoay thu được là \(V = {V_n} - {V_c} = 3\pi {r^3} - \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{5}{3}\pi {r^3}.\)

Chọn A.