Phương pháp giải:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\)của một cạnh bên nào đó

- Xác định \(I = \left( \alpha  \right) \cap d\), I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Lời giải chi tiết:

ABCD là hình thang cân có \(AB = CD = BC = a,\,AD = 2a \Rightarrow \) ABCD là 1 nửa của hình lục giác đều, có tâm O là trung điểm của AD.

Gọi I là trung điểm của SD \( \Rightarrow OI//SA\)

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.BCD là: \(R = \dfrac{{SD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \)

Thể tích khối cầu đó là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn: A