Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về dạng  \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\)  và sử dụng tương giao đồ thị tìm số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2f\left( x \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \frac{m}{2}\,\,\left( * \right)\).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y =  - \frac{m}{2}.\)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow  - \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m =  - 2\).

Chọn A.