Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\,\left( {cx + d \ne 0} \right)\)  nghịch biến trên \(K\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\ - \frac{d}{c} \notin K\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\)

Ta có: \(y' = \frac{{m\left( {m + 1} \right) - 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}y' = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0\\ - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 < 0\\ - m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 2\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)

Vậy \(m \in \left[ {1;2} \right)\)

Chọn D.