Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi – ét.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm :

\(\begin{array}{l}2x + m = \dfrac{{2x - 4}}{{x - 1}}\,\left( {x \ne 1} \right)\,\, \Leftrightarrow \left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 2x - 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 4 - m = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{2.1^2} + \left( {m - 4} \right).1 + 4 - m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} - 4.2.\left( {4 - m} \right) > 0\\2 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 16 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m <  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó, (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{4 - m}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{4 - m}}{2}\end{array} \right.\)

Tọa độ hai giao điểm là: \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),\,B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt 5 .\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt 5 .\sqrt {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt 5 .\sqrt {{{\left( {\dfrac{{4 - m}}{2}} \right)}^2} - 4.\dfrac{{4 - m}}{2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt {{m^2} - 8m + 16 - 32 + 8m}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt {{m^2} - 16} \end{array}\)

Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) là: \(I\left( {1;2} \right)\)

Ta có: \(\left( d \right):y = 2x + m \Leftrightarrow 2x - y + m = 0 \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 - 2 + m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}\)

Ta có: \(4{S_{\Delta IAB}} = 15 \Leftrightarrow 4.\dfrac{1}{2}.d\left( {I;d} \right).AB = 15 \Leftrightarrow 4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt {{m^2} - 16}  = 15 \Leftrightarrow \left| m \right|\sqrt {{m^2} - 16}  = 15\)

\( \Leftrightarrow {m^4} - 16{m^2} - 225 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} =  - 9\\{m^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 5\) (thỏa mãn).

Chọn: A