Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\)

Đường thẳng \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \) .

Lời giải chi tiết:

ĐK : \(x \ne \left\{ {1; - 3} \right\}\)

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}} = 0\)  nên đường thẳng \(y = 0\) là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{1}{{x + 3}} =  + \infty \)  nên đường thẳng \(x =  - 3\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \ne  \pm \infty \)  nên đường thẳng \(x = 1\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận \(x =  - 3;y = 0.\)

Chọn B.