Câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai?
- A Hàm số \(y = f\left( {x + 1} \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
- B Hàm số \(y = f\left( x \right) + 1\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
- C Hàm số \(y = - f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
- D Hàm số \(y = - f\left( x \right) - 1\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên \(\left( {a;b} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên \(\left( {a;b} \right)\).
+) Hàm số \(y = f\left( x \right) + 1\) có \(y' = f'\left( x \right)\)\( \ge 0,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên \(\left( {a;b} \right)\).
\( \Rightarrow y = f\left( x \right) + 1\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
+) Hàm số \(y = - f\left( x \right)\) có \(y' = - f'\left( x \right)\)\( \le 0,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên \(\left( {a;b} \right)\).
\( \Rightarrow y = - f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
+) Hàm số \(y = - f\left( x \right) - 1\) có \(y' = - f'\left( x \right)\)\( \le 0,\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\), chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên \(\left( {a;b} \right)\).
\( \Rightarrow y = - f\left( x \right) - 1\) nghịch biến trên \(\left( {a;b} \right)\).
+) Hàm số \(y = f\left( {x + 1} \right)\) có \(y' = f'\left( {x + 1} \right)\): không có nhận xét về dấu dựa vào hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Chọn: A