Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

+) Giải bất phương trình \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = \left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1\).

Ta có: \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){x^2} - 2mx + 1 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( * \right)\)

TH1: \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó ta có \( - x + 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \le 0\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2m - 1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\{\left( {m - 1} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(m=1\).