Cách tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm - Toán 10

Cho mẫu số liệu thống kê có \(n\) giá trị \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}\), số trung bình cộng là \(\bar x\), \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).

a) Phương sai

+) Trong bảng phân bố tần số:

\({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \bar x)}^2} + {{({x_2} - \bar x)}^2} +  \cdots  + {{({x_n} - \bar x)}^2}}}{n} = \frac{1}{n}({n_1}{x_1}^2 + {n_2}{x_2}^2 + ... + {n_k}{x_k}^2) - {\overline x ^2}\).

+) Trong bảng phân bố tần số tương đối:

\({s^2} = {f_1}{({x_1} - \bar x)^2} + {f_2}{({x_2} - \bar x)^2} +  \cdots  + {f_k}{({x_n} - \bar x)^2}\).

+) Trong thực tế, người ta dùng công thức phương sai hiệu chỉnh:

\({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \bar x)}^2} + {{({x_2} - \bar x)}^2} +  \cdots  + {{({x_n} - \bar x)}^2}}}{{n - 1}}\).

b) Độ lệch chuẩn

Căn bậc hai (số học) của phương sai gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê: \(s = \sqrt {{s^2}} \).

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

1) Bảng 5 thống kê nhiệt độ (đơn vị: \(^o\)C) ở Thành phố Hồ Chí Minh ngày 03/6/2021 sau một số lần đo.

a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ từ bảng số liệu.

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Giải:

a) Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng số liệu là: 27 26 28 32 34 35 30 28

b) Nhiệt độ trung bình là:

\(\bar x = \frac{{27 + 26 + 28 + 32 + 34 + 35 + 30 + 28}}{8} = 30\) (\(^o\)C).

Phương sai của mẫu số liệu đó là:

\({s^2} = \frac{{{{( - 3)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + {4^2} + {5^2} + {0^2} + {{( - 2)}^2}}}{8} = \frac{{78}}{8} = 9,75\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là: \(s = \sqrt {9,75}  \approx 3,12\) (\(^o\)C).

2) Điều tra một số học sinh về số cái bánh chưng mà gia đình mỗi bạn tiêu thụ trong dịp Tết Nguyên đán, kết quả được ghi lại ở bảng sau. Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Giải:

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

\(\bar x = \frac{1}{{40}}(5.6 + 7.7 + 10.8 + 8.9 + 5.10 + 4.11 + 15) = 8,5\).

Phương sai của mẫu số liệu trên là: \({S^2} = \frac{1}{{40}}({5.6^2} + {7.7^2} + {10.8^2} + {8.9^2} + {5.10^2} + {4.11^2} + {15^2}) - 8,{5^2} = 3,25\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(S = \sqrt {{S^2}}  = \sqrt {3,25}  \approx 1,80\).