Cách tính góc giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tạo thành bốn góc.

- Nếu \({\Delta _1}\) không vuông góc với \({\Delta _2}\) thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

- Nếu \({\Delta _1}\) vuông góc với \({\Delta _2}\) thì ta nói góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \({90^o}\).

Ta quy ước: Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \({0^o}\). 

Như vậy góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng luôn thoả mãn: \({0^o} \le \alpha  \le {90^o}\).

Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) được kí hiệu là \(\left( {\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}}} \right)\) hoặc \(({\Delta _1}{\Delta _2})\).

Cách 1: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = ({a_1};{b_1})\), \(\overrightarrow {{u_1}}  = ({a_2};{b_2})\). Ta có:

\(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

Cách 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = ({a_1};{b_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = ({a_2};{b_2})\). Ta có:

\(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).

1) Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:

a) \({d_1}:2x + 4y + 5 = 0\) và \({d_2}:3x + y + 2022 = 0\);

b) \({d_1}:x + 2y + 1 = 0\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 99 + 2t}\end{array}} \right.\);

c) \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 3 - 7t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2022 + 4t'}\\{y = 2023 - 14t'}\end{array}} \right.\).

Giải:

a) Ta có: \(\cos ({d_1},{d_2}) = \frac{{|2.3 + 4.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {200} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \(({d_1},{d_2}) = {45^o}\).

b) \({d_2}\) có phương trình tổng quát là \(2x - y + 99 = 0\). Ta có: \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 1.2 + 2.( - 1) = 0\), suy ra \(({d_1},{d_2}) = {90^o}\).

c) Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2; - 7)\), \(\overrightarrow {{u_2}}  = (4; - 14)\). Ta có \[\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \], do đó \(\overrightarrow {{u_1}} //\overrightarrow {{u_2}} \), suy ra \(({d_1},{d_2}) = {0^o}\).

2) Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + \sqrt 3 {t_1}}\\{y = 1 + {t_1}}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\\{y = 4 - {t_2}}\end{array}} \right.\)

b) \({\Delta _1}:3x + y - 10 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0\).

Giải:

a) \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (\sqrt 3 ;1)\). 

\({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (\sqrt 3 ; - 1)\). 

Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3  + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}\). 

Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {60^o}\).

b) \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = (3;1)\), \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = ( - 2;1)\). Do đó, ta có:

\(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = |\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )| = \frac{{|3.( - 2) + 1.1|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^o}\).