Cách nhận biết, xác định phương trình đường tròn - Toán 10

Để nhận biết, xác định một phương trình có phải phương trình đường tròn hay không, ta thực hiện:

B1: Xét xem phương trình có đưa được về dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) hay không. Nếu được thì thực hiện B2, nếu không được (\({x^2} - {y^2} + ... = 0\),\(2{x^2} + {y^2} + ... = 0\),…) thì kết luận đây không phải phương trình đường tròn.

B2: Tính \({a^2} + {b^2} - c\).

- Nếu \({a^2} + {b^2} - c > 0\) thì kết luận đây là phương trình đường tròn.

- Nếu \({a^2} + {b^2} - c \le 0\) thì kết luận đây không phải là phương trình đường tròn.

1) Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 23 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 9 = 0\).

Giải:

a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với a = 2; b = -3; c = -23.

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 4 + 9 + 23 = 36 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm \(I(2; - 3)\) và có bán kính \(R = \sqrt {36}  = 6\).

b) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với a = 1; b = 2; c = 9.

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 - 9 =  - 4 < 0\). Vậy đây không phải phương trình đường tròn.

2) Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) \({x^2} - {y^2} - 2x + 4y - 1 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 6 = 0\);

c) \({x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).

Giải:

a) Đây không phải là dạng của phương trình đường tròn (hệ số \({y^2}\) khác hệ số của \({x^2}\)).

b) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 6 < 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình tròn.

c) Vì \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} - 1 = 11 > 0\) nên phương trình đã cho là phương trình tròn có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}= \sqrt {11} \).