Cách tìm vecto pháp tuyến biết vecto chỉ phương của đường thẳng - Toán 10

Vecto \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \).

- Nếu \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \).

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.

Vecto \(\overrightarrow u \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).

Nhận xét:

- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vecto chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto chỉ phương của \(\Delta \).

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vecto chỉ phương của đường thẳng đó.

Giả sử đường thẳng d có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (a;b)\).

Khi đó, d có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (b; - a)\). Đồng thời, \(k\overrightarrow n  = (kb; - ka)\) cũng là các vecto pháp tuyến của d.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho đường thẳng d có \(\overrightarrow u  = (2; - 1)\) là vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của d.

Giải:

\(\overrightarrow n  = (1;2)\) là một vecto pháp tuyến của d. Các vecto cùng phương với \(\overrightarrow n  = (1;2)\) cũng là vecto pháp tuyến của d.

2) Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 4\end{array} \right.\). Lập phương trình tổng quát của d.

Giải:

 Từ phương trình tham số, ta biết một vecto chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = (3;0)\). Từ đó suy ra một vecto pháp tuyến của d là \(\overrightarrow n  = (0; - 3)\).

Phương trình tổng quát của d là:

\(0(x - 2) - 3(y - 4) = 0 \Leftrightarrow  - 3y + 12 = 0 \Leftrightarrow y - 4 = 0\).