Các công thức tính diện tích tam giác - Toán 10

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+ BC = a, CA = b, AB = c;

+ \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) (nửa chu vi);

+ R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

+ r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

+ \({h_a},{h_b},{h_c}\) là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

1) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\);

2) \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (công thức Heron);

3) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\);

4) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\);

5) \(S = pr\).

1) Cho tam giác ABC có \(a = 2\sqrt 3 \), \(b = 2\) và \(\widehat C = {30^o}\).

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải:

a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\), ta có:

\(S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3  \cdot 2 \cdot \sin {30^o} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3  \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt 3  \approx 1,7.\)

b) Áp dụng định lí côsin, ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C = 12 + 4 - 2 \cdot 2\sqrt 3  \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4.\)

Suy ra c = 2.

Áp dụng định lí sin, ta có: \(R = \frac{c}{{2 \cdot \sin C}} = \frac{2}{{2 \cdot \sin {{30}^o}}} = \frac{2}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = 2.\)

2) Cho tam giác ABC có các cạnh a = 30, b = 26, c = 28.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

a) Ta có \(p = \frac{1}{2} \cdot (30 + 26 + 28) = 42\).

Áp dụng công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = \sqrt {42(42 - 30)(42 - 26)(42 - 28)}  = 336.\)

b) Ta có \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\), suy ra \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{30 \cdot 26 \cdot 28}}{{4 \cdot 336}} = 16,25\).

Ta lại có \(S = pr\), suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{336}}{{42}} = 8\).