Biểu thức đối xứng là gì? Cách tính giá trị biểu thức đối xứng - Toán 9

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta  = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).

Biểu thức đối xứng là phương trình mà vai trò của \(x,y\) khi đổi chỗ thì phương trình không thay đổi.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \({x_1},{x_2}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.\).

Từ đó áp dụng định lí Viète: \(S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a};P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng \({x_1} + {x_2}\) và tích \({x_1}{x_2}\). Sau đó áp dụng bước 1.

Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp:

+) \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {S^2} - 2P\)

+) \(B = x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {S^3} - 3SP\)

+) \(C = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\)

+) \(D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)

+) \(E = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {S^2} - 4P\).