Cách xác định sự tương giao của hai đồ thị chứa tham số liên quan đến định lí Viète - Toán 9

Hàm số y = ax², là một dạng của hàm số bậc hai, là hàm số có dạng như sau: \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

Hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) xác định với mọi giá trị x thuộc \(\mathbb{R}\).

Ví dụ: Hàm số \(y = 2{x^2},y =  - \frac{3}{2}{x^2}\) là các hàm số có dạng \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\).

Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường cong được gọi là parabol. Parabol đó luôn đi qua gốc toạ độ và có dạng như sau:

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \(2{x^2} + 11x + 7 = 0\) có: \(\Delta  = {11^2} - 4.2.7 = 65 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \frac{7}{2}\).

Khi cần biện luận số giao điểm của một đường thẳng (d) và Parabol (P): \(y = a{x^2}\), ta cần chú ý:

- Nếu đường thẳng (d) là \(y = m\) (song song với trục Ox) ta có thể dựa vào đồ thị để biện luận hoặc biện luận dựa vào \(a{x^2} = m\).

- Nếu đường thẳng \(\left( d \right):y = mx + n\), ta thường xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
là: \(a{x^2} = mx + n\) hay \(a{x^2} - mx - n = 0\) từ đó ta xét số giao điểm dựa trên số nghiệm của phương trình \(a{x^2} - mx - n = 0\) bằng cách xét dấu của \(\Delta \).
- Trong trường hợp đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì \(A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right)\), \(B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)\) khi đó ta có:
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {m^2}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} \)

Mọi câu hỏi liên quan đến nghiệm \({x_1},{x_2}\), ta đều quy về định lý Viète.
Chú ý: Đường thẳng (d) có hệ số góc a đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thì có dạng: \(y = a\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).