Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $\widehat {BAC} = {90^0},\,\,\,BC = 2a,\,\,\,\widehat {ACB} = {30^0}.$ Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$ Biết rằng tam giác $SAB$ cân tại $S$ và tam giác $SBC$ vuông tại $S.$ Tính diện tích tam giác $SAB.$
-
A.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
-
B.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.$
-
C.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$
-
D.
${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ cân tại $S \Rightarrow SH \bot AB.$
Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SH \bot \left( {ABC} \right)$ và đặt $SH = x.$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin C = a\\AC = BC.\cos C = a\sqrt 3 \end{array} \right..$
Ta có $SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} ,$ $HC = \sqrt {H{A^2} + A{C^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$
Và $SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{x^2} + \dfrac{{13{a^2}}}{4}} $
Tam giác SBC vuông tại S nên $S{B^2} + S{C^2} = B{C^2}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4} + {x^2} + \dfrac{{13\,{a^2}}}{4} = 4{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}.$
Vậy diện tích tam giác $SAB$ là ${S_{\Delta \,SAB}} = \dfrac{1}{2}.SH.AB = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và một điểm M không thuộc (P) và (Q). Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q)?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D’\) . Xét tất cả các hình bình hành có đỉnh là đỉnh của hình hộp đó. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành mà mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD)\) ?
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right),\) tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), kết luận nào sau đây sai?
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tứ diện $SABC$ có $SBC$ và $ABC$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác $SBC$ đều, tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$, $I$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AB$. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$, mặt bên $SAC$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
$\left( I \right):AI \bot SC$
$\left( {II} \right):\,\,\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)$
$\left( {III} \right):\,\,AI \bot BC$
$\left( {IV} \right):\,\,\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $SC$ và $I$ là giao điểm của $HK$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ tại $D$ lấy điểm $S$ sao cho $SD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$; kẻ $IH$ vuông góc $SA$ $\left( {H \in SA} \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy lớn $AB$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $SA$ và $Q \ne A,$ $Q \ne S$; $M$ là điểm trên đoạn $AD$ và $M \ne A$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $QM$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:
Cho hình chóp đều $S.ABC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $A$, song song với $BC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:
Cho hình chóp đều $S.ABCD$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB = 2a,{\rm{ }}AD = DC = a$; cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $SD$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB = a,$ $AD = 2a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $SO$ và vuông góc với $\left( {SAD} \right).$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và hình chóp đã cho.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${30^0}.$ Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD.$
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ đỉnh $S,$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$ và $SC.$ Tính theo $a$ diện tích tam giác $AMN,$ biết rằng mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right).$
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,\,\,\,AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $BC$ tạo với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ góc ${30^0}.$ Tính diện tích tam giác $ABC.$
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật ?
