Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ${30^0}.$ Tính diện tích hình chữ nhật $ABCD.$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ đều $ \Rightarrow \,\,SH \bot AB.$

Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$$ \Rightarrow $$SH \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $\widehat {(SD;\left( {ABCD} \right))} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH} = {30^0}$

Tam giác $SHD$ vuông tại $H,$ có $\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{SH}}{{HD}} \Rightarrow HD = \dfrac{{3a}}{2}.$

Tam giác $AHD$ vuông tại $A,$ có $AD = \sqrt {H{D^2} - A{H^2}}  = a\sqrt 2 .$

Vậy diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = \sqrt 2 \,{a^2}.$