Cho \(x,y\) là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2.\) Tính giá trị của biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} .\)
-
A.
\(Q = - \dfrac{3}{4}\)
-
B.
\(Q = \dfrac{4}{3}\)
-
C.
\(Q = - \dfrac{4}{3}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{3}{4}\)
Biến đổi biểu thức đã cho bằng phương pháp nhân liên hợp sau đó tính giá trị biểu thức \(Q\).
Theo đề bài ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = 2\left[ {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Lại có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 2\,\,\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + 2\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta được: \( - 4\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - 3\)\( \Rightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{3}{4}.\)
Vậy \(Q = \dfrac{3}{4}.\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
Cho \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) và \(C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \). Chọn đáp án đúng.
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(\dfrac{{\sqrt { - 3x} }}{{{x^2} - 1}}\) có nghĩa?
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \) là
Chọn đáp án đúng.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 3\) là
Phương trình \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\) có bao nhiêu nghiệm?
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} \) là
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 9}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)$. Rút gọn \(P\) .
Rút gọn biểu thức: $A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ v ới \(x > 0;\,\,x \ne 1.\)
Rút gọn biểu thức:$B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}$ với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4\).
Rút gọn $D = \left( {\dfrac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} }}} \right):\left( {\dfrac{{y + xy}}{{1 - xy}}} \right)$ với \(x \ge 0;\,\,y > 0;\,\,xy \ne 1\) và $M = \left( {\dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{{x^2}}}{{x\sqrt x + x}}} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với \(x > 0\) ta được
Rút gọn biểu thức: $P = \dfrac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \dfrac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$ với \(a > 0.\)
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)
Tìm \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5\) .
Cho \(A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0\). Chọn đáp án đúng.
Cho biểu thức $P = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}} \right)$ . Chọn câu đúng.
Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)
