Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)

Ta có:

\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 }  + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 }  + 2.\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } .\sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3  - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 3  + 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)

Thay \(x = \sqrt 3  + 1\) thì: 

\(\begin{array}{l}P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}\\P = 2.\left( {\sqrt 3  + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\\P = 2\sqrt 3  + 2 - 4 - 2\sqrt 3  =  - 2\end{array}\)

Vậy \(P =  - 2\).