Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\) liên tục trên $R.$ Khi đó giá trị của $a$ và $b$ là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{\pi }\\b = 1\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{\pi }\\b = 2\end{array} \right.\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
+) Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các tập xác định của chúng.
+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = \pm \dfrac{\pi }{2}\)
+) Để hàm số liên tục tại \(x = \pm \dfrac{\pi }{2}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right);\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{\pi }{2}\\x < - \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{2}; + \infty } \right)\)
Để hàm số liên tục trên $R$ thì hàm số phải liên tục tại các điểm \(x = \pm \dfrac{\pi }{2} \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a.\dfrac{\pi }{2} + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\\f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow a.\dfrac{\pi }{2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) = - a.\dfrac{\pi }{2} + b\\f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \dfrac{{ - \pi }}{2} = - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow - a.\frac{\pi }{2} + b = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{\pi }{2} + b = 1\\ - a.\dfrac{\pi }{2} + b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng nào sau đây?
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,\,x \ne - 1\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Hàm số đã cho liên tục tại $x = 3$ khi $m$ bằng :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}\,\,\,khi\,\,x > 8\\ax + 4\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 8\end{array} \right.\) . Để hàm số liên tục tại $x = 8,$ giá trị của $a$ là:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\a + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 0.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1\\\left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Chọn giá trị của \(f\left( 0 \right)\) đề hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt[3]{{2x + 8}} - 2}}{{\sqrt {3x + 4} - 2}}\,khi\,x \ne 0\\
m\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x = 0
\end{array} \right.$ liên tục tại điểm $x = 0.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\\\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\\\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục trên $R.$
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) sao cho \(f\left( { - 1} \right) = 2\), \(f\left( 4 \right) = 7\). Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 5\) trên đoạn \([ - 1;4]\):
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 6} - a}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\{x^3} - \left( {2b + 1} \right)x\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\) trong đó $a, b$ là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại $x = 3$. Số nhỏ hơn trong hai số $a$ và $b$ là:
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x - 1\). Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) trên \(\mathbb{R}\) là:
Giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{m + 1}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 2\) bằng
