Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) sao cho \(f\left( { - 1} \right) = 2\), \(f\left( 4 \right) = 7\). Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 5\) trên đoạn \([ - 1;4]\):

Ta có \(f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 5 = 0\). Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - 5.\) Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - 5 = 2 - 5 =  - 3\\g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) - 5 = 7 - 5 = 2\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 1} \right)g\left( 4 \right) < 0.\)

Vậy phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 5\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\).