Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x - 1\). Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) trên \(\mathbb{R}\) là:
-
A.
\(0.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\(2.\)
-
D.
\(3.\)
Xét trên từng khoảng thích hợp, kiểm tra nghiệm của phương trình trong khoảng đó bằng cách sử dụng định lý:
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 1\) là hàm đa thức có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {0;2} \right).\)
Ta có
\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 3\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right)f\left( { - 1} \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; - 1} \right).\)
\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right).\)
\( \bullet \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) < 0\) \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right).\)
Như vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).
Tuy nhiên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có đúng \(3\) nghiệm trên \(\mathbb{R}.\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng nào sau đây?
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,\,x \ne - 1\\3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = - 1\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Hàm số đã cho liên tục tại $x = 3$ khi $m$ bằng :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 8}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}\,\,\,khi\,\,x > 8\\ax + 4\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 8\end{array} \right.\) . Để hàm số liên tục tại $x = 8,$ giá trị của $a$ là:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\a + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x = 0.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1\\\left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Chọn giá trị của \(f\left( 0 \right)\) đề hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt[3]{{2x + 8}} - 2}}{{\sqrt {3x + 4} - 2}}\,khi\,x \ne 0\\
m\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,x = 0
\end{array} \right.$ liên tục tại điểm $x = 0.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\\\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}}\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 3\end{array} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số liên tục tại $x = 3.$
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\\\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục trên $R.$
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\) liên tục trên $R.$ Khi đó giá trị của $a$ và $b$ là:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) sao cho \(f\left( { - 1} \right) = 2\), \(f\left( 4 \right) = 7\). Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 5\) trên đoạn \([ - 1;4]\):
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 6} - a}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\{x^3} - \left( {2b + 1} \right)x\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\) trong đó $a, b$ là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại $x = 3$. Số nhỏ hơn trong hai số $a$ và $b$ là:
Giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{m + 1}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 2\) bằng
