Cho hai điểm \(A(3;0),B(0;4)\). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất nội tiếp tam giác OAB là:
-
A.
\({x^2} + {y^2} = 1\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} = 2\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 25 = 0\)
Đường tròn (C) nội tiếp tam giác OAB, suy ra \(\left( C \right)\)có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc \({\rm{Ox}},Oy,AB\)
\( \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = d(I,AB)\)
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({x_0};{y_0})\) đến \(\Delta :{\rm{ax + by + c = 0}}\)
\(d(I;\Delta ) = \dfrac{{{\rm{|a}}{{\rm{x}}_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\(\)
Phương trình đường thẳng AB là: \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\)
Giả sử đường tròn (C) có tâm \(I\left( {a,b} \right)\).
Đường tròn (C) nội tiếp tam giác OAB, suy ra \(\left( C \right)\)có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc \({\rm{Ox}},Oy,AB\)
\( \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = d(I,AB)\)
\( \Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3b - 12} \right|}}{5}\)
TH1: Nếu \(a = b\), ta có $\left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a + 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {7a - 12} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 7a - 12\\5a = 12 - 7a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\\a = 1\end{array} \right.$
TH2: Nếu \( - a = b\), ta có $\left| a \right| = \dfrac{{\left| {4a - 3a - 12} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {a - 12} \right|$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = a - 12\\5a = 12 - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 3\\a = 2\end{array} \right.$
Vì $\left( C \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên chọn \(R = \left| a \right| = 1\).
Suy ra $\left( C \right)$ có tâm \(I(1;1)\) và $R = 1$\( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 1 = 0\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hai điểm \(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(B\left( {1; - 4} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:11x - 12y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:12x + 11y + 9 = 0\). Khi đó hai đường thẳng này:
Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;1} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {4;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM.
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 4} \right),B\left( {1;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB:
Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và tạo với chiều trục Ox một góc bằng 600 có phương trình là:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Có bao nhiêu cặp điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán, biết điểm \(E\left( {1; - 3} \right)\) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu của C trên đường thẳng AB là \(H\left( { - 1; - 1} \right)\), đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C.
Phương trình đường tròn tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d\) có phương trình \(x - 2y + 5 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {0;4} \right),\,B\left( {2;6} \right)\) là:
Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B( - 4;0)\) và \(C( - 2;2)\) là:
Phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có 3 cạnh nằm trên 3 đường thẳng \(3y = x, y = x + 2, y = 8 - x\) là:
Phương trình đường tròn (C) có tâm \(I(5; - 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng Oy là:
Đường tròn có tâm \(I({x_I} > 0)\) nằm trên đường thẳng \(y = - x\), bán kính bằng 3 và tiếp xúc với một trục tọa độ có phương trình là:
Phương trình đường tròn \((C)\) đi qua \(A (3;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \((d): 2x + y - 3 = 0\) tại điểm \(B (1;1)\) là:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y - 8 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nào dưới đây song song với đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài \( 6\)?
Phương trình đường tròn (C) có bán kính lớn nhất đi qua \(M(4;2)\) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ là:
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng $\Delta :3x + y + 4 = 0$ bằng:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).
Cho đường thẳng $\left( \Delta \right):3x - 2y + 1 = 0$. Viết PTĐT $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ và tạo với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:
