Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Có bao nhiêu cặp điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán, biết điểm \(E\left( {1; - 3} \right)\) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
+) Từ giả thiết về đường trung bình và tam giác cân đỉnh A ta tìm được tọa độ trung điểm M của cạnh BC.
+) Lập phương trình đường thẳng BC và lấy tham số tọa độ điểm B và C.
+) Từ \(AB \bot CE\) thiết lập phương trình ẩn t và giải phương trình.
Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC cân tại A nên A và M đối xứng nhau qua đường trung bình DN: x + y – 4 = 0. Đường thẳng \(AM \bot DN\) và đi qua A có phương trình \(x - y = 0\) .
\(I = d \cap AM \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2 \Rightarrow I\left( {2;2} \right) \Rightarrow M\left( { - 2; - 2} \right)$
Đường thẳng BC đi qua M và song song với DN có phương trình x + y + 4 = 0 \( \Rightarrow \) Tọa độ đỉnh B có dạng \(B\left( {t; - 4 - t} \right)\), C đối xứng với B qua M \( \Rightarrow C\left( { - 4 - t;t} \right)\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CE} = \left( {t + 5; - 3 - t} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {t - 6; - t - 10} \right)\\AB \bot CE \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CE} = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 5} \right)\left( {t - 6} \right) + \left( { - 3 - t} \right)\left( { - t - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - 30 + {t^2} + 13t + 30 = 0\\ \Leftrightarrow 2{t^2} + 12t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0; - 4} \right)\\C\left( { - 4;0} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 6;2} \right)\\C\left( {2; - 6} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hai điểm \(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(B\left( {1; - 4} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:11x - 12y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:12x + 11y + 9 = 0\). Khi đó hai đường thẳng này:
Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;1} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {4;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM.
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 4} \right),B\left( {1;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB:
Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và tạo với chiều trục Ox một góc bằng 600 có phương trình là:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu của C trên đường thẳng AB là \(H\left( { - 1; - 1} \right)\), đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C.
Phương trình đường tròn tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d\) có phương trình \(x - 2y + 5 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {0;4} \right),\,B\left( {2;6} \right)\) là:
Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B( - 4;0)\) và \(C( - 2;2)\) là:
Phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có 3 cạnh nằm trên 3 đường thẳng \(3y = x, y = x + 2, y = 8 - x\) là:
Phương trình đường tròn (C) có tâm \(I(5; - 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng Oy là:
Đường tròn có tâm \(I({x_I} > 0)\) nằm trên đường thẳng \(y = - x\), bán kính bằng 3 và tiếp xúc với một trục tọa độ có phương trình là:
Phương trình đường tròn \((C)\) đi qua \(A (3;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \((d): 2x + y - 3 = 0\) tại điểm \(B (1;1)\) là:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y - 8 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nào dưới đây song song với đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài \( 6\)?
Phương trình đường tròn (C) có bán kính lớn nhất đi qua \(M(4;2)\) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ là:
Cho hai điểm \(A(3;0),B(0;4)\). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất nội tiếp tam giác OAB là:
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng $\Delta :3x + y + 4 = 0$ bằng:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).
Cho đường thẳng $\left( \Delta \right):3x - 2y + 1 = 0$. Viết PTĐT $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ và tạo với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:
