Phương trình đường tròn \((C)\) đi qua \(A (3;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \((d): 2x + y - 3 = 0\) tại điểm \(B (1;1)\) là:
-
A.
\({\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{5}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}\)
-
B.
\({\left( {x + \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{5}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}\)
-
C.
\({\left( {x - \dfrac{5}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{7}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}\)
-
D.
\({\left( {x + \dfrac{5}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{7}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}\)
Giả sử đường tròn có tâm I và bán kính R. Sử dụng tính chất:
- Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại B nên ta có: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$.
- Đường tròn qua A nên ta có \(R = IA = IB\).
Giả sử đường tròn có tâm \(I(a;b)\)
Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \((d):2x + y - 3 = 0\) tại \(B(1;1)\) nên ta có: $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$.
Mà \(\overrightarrow {BI} = \left( {a - 1;b - 1} \right),\overrightarrow {{u_d}} = (1; - 2)\) nên ta có
\(1\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Vì đường tròn qua \(A\left( {3;3} \right)\) nên ta có \(R = IA = IB\).
\(IA = IB \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} \Leftrightarrow - 4a - 4b + 16 = 0 \Leftrightarrow a + b = 4\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 1 = 0\\a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\)
Ta có \(R = BI = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{5}{3} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{{20}}{9}} \)
Vậy ta có phương trình \({\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{5}{3}} \right)^2} = \dfrac{{20}}{9}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hai điểm \(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(B\left( {1; - 4} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:11x - 12y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:12x + 11y + 9 = 0\). Khi đó hai đường thẳng này:
Cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;1} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {4;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM.
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 4} \right),B\left( {1;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB:
Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và tạo với chiều trục Ox một góc bằng 600 có phương trình là:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh \(A\left( {6;6} \right)\), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Có bao nhiêu cặp điểm B, C thỏa mãn yêu cầu bài toán, biết điểm \(E\left( {1; - 3} \right)\) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hình chiếu của C trên đường thẳng AB là \(H\left( { - 1; - 1} \right)\), đường thẳng chứa phân giác của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C.
Phương trình đường tròn tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d\) có phương trình \(x - 2y + 5 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {0;4} \right),\,B\left( {2;6} \right)\) là:
Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B( - 4;0)\) và \(C( - 2;2)\) là:
Phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có 3 cạnh nằm trên 3 đường thẳng \(3y = x, y = x + 2, y = 8 - x\) là:
Phương trình đường tròn (C) có tâm \(I(5; - 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng Oy là:
Đường tròn có tâm \(I({x_I} > 0)\) nằm trên đường thẳng \(y = - x\), bán kính bằng 3 và tiếp xúc với một trục tọa độ có phương trình là:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y - 8 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nào dưới đây song song với đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài \( 6\)?
Phương trình đường tròn (C) có bán kính lớn nhất đi qua \(M(4;2)\) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ là:
Cho hai điểm \(A(3;0),B(0;4)\). Phương trình đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất nội tiếp tam giác OAB là:
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng $\Delta :3x + y + 4 = 0$ bằng:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).
Cho đường thẳng $\left( \Delta \right):3x - 2y + 1 = 0$. Viết PTĐT $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ và tạo với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$
Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Elip có độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 8 có phương trình chính tắc là:
