Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x + m – 1 và parabol (P): \(y = {x^2}\). Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn: \(4\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right) - {x_1}{x_2} + 3 = 0\).

Để giải quyết bài toán tìm tham số m sao cho đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt thỏa mãn một điều kiện liên quan đến hoành độ giao điểm, chúng ta áp dụng các lí thuyết cơ bản sau:

1. Phương trình hoành độ giao điểm:

Đây là bước đầu tiên để tìm tọa độ các điểm mà đường thẳng và parabol giao nhau. Ta cho hai biểu thức của y bằng nhau. Cụ thể, từ phương trình đường thẳng y = x + m – 1 và parabol $y = {x^2}$, ta thiết lập phương trình $x + m - 1 = {x^2}$. Bằng cách chuyển vế, ta thu được một phương trình bậc hai theo biến x, có dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Trong bài toán này, phương trình đó là ${x^2} - x - m + 1 = 0$ (*), với a = 1, b = -1, c = -m + 1. Các nghiệm của phương trình này chính là hoành độ ${x_1}$, ${x_2}$ của các giao điểm.

2. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, phương trình hoành độ giao điểm (*) phải có hai nghiệm thực phân biệt. Điều này xảy ra khi biệt thức Delta của phương trình đó lớn hơn không ($\Delta > 0$). Biệt thức $\Delta$ được tính bằng công thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

3. Định lý Viète:

Khi phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$ và ${x_2}$, định lý Viète phát biểu rằng ${x_1} + {x_2} = -\frac{b}{a}$ và ${x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$.