Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x + m – 1 và parabol (P): \(y = {x^2}\). Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn: \(4\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right) - {x_1}{x_2} + 3 = 0\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\(x + m - 1 = {x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - m + 1 = 0\) (*)

Để (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

Khi đó \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {( - 1)^2} - 4.1.( - m + 1) = 1 + 4m - 4 = 4m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - \frac{{ - 1}}{1} = 1\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - m + 1}}{1} =  - m + 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài: \(4\left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right) - {x_1}{x_2} + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4.\frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} - {x_1}{x_2} + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4.\frac{1}{{ - m + 1}} - ( - m + 1) + 3 = 0\) (ĐK: \(m \ne 1\))

\( \Leftrightarrow 4 - {( - m + 1)^2} + 3( - m + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4 - ({m^2} - 2m + 1) - 3m + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - {m^2} - m + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m = 2\end{array} \right.\)

Mà \(m > \frac{3}{4}\) nên chỉ có m = 2 thỏa mãn.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.