Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. Một đường thẳng qua C cắt Ax tại M, cắt By tại P. Điểm N nằm trên tia đối của tia BP sao cho góc MCN là góc vuông. Gọi H là hình chiếu của C trên MN.
Chứng minh:
a) AM + BN = MN;
b) CM là đường trung trực của AH, CN là đường trung trực của BH;
c) Góc AHB là góc vuông.
a)
-Chứng minh AM = MH: \(\Delta AMC = \Delta HMC\)
-Chứng minh:NB = NH:\(\Delta CHN = \Delta CBN\left( {ch - gn} \right)\)
b)Áp dụng kết quả ý a
c)Trong tam giác đường trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông
a)
-Chứng minh AM = MH
Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta BPC\) có:
AC = CB (gt)
\(\widehat {MAC} = \widehat {PBC} = {90^0}\)
\(\widehat {ACM} = \widehat {BCP}\)(đối đỉnh)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AMC\) = \(\Delta BPC\)(g – c – g)
\( \Rightarrow \) MC = CP (cạnh tương ứng)
Mà \(NC \bot MP\)
\( \Rightarrow \)NC là đường trung trực của MP
\( \Rightarrow \)Tam giác NMP cân tại N
\( \Rightarrow \)\(\widehat {{P_1}} = \widehat {{M_2}}\)
Mà \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{M_1}}\)(so le trong: Mx // By)
\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)
Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta HMC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {MAC} = \widehat {MHC} = {90^0}\\MC:chung\\\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMC = \Delta HMC\left( {ch - gn} \right)\\ \Rightarrow AM = MH\left( {ctu} \right)\end{array}\)
-Chứng minh:NB = NH
Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.
Xét \(\Delta HNC\) và \(\Delta BNC\) có:
CN: chung
\(\begin{array}{l}\widehat {{N_1}} = \widehat {{N_2}}\left( {cmt} \right)\\\widehat {CHN} = \widehat {CBN} = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CHN = \Delta CBN\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow NH = NB\)(cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AM + BN = MH + HN = MN\)
b)
Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M
\( \Rightarrow \)MC là đồng thời là đường trung trực của AH
Tam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N
\( \Rightarrow \)NC đồng thời là đường trung trực của BH.
c)
Xét tam giác HAB có CA = CB
\( \Rightarrow \)HC là đường trung tuyến
\(\Delta AMC = \Delta HMC\)(cmt) \( \Rightarrow AC = HC\)(cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow HC = CA = CB\)
Đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.
Vậy tam giác HAB vuông tại H.
Các bài tập cùng chuyên đề
Mỗi tam giác có mấy đường trung trực
Cho tam giác ABC, em hãy dùng thước kẻ và compa vẽ đường trung trực xy của cạnh BC.
Ở Hình 1, cho biết AE = AF và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\). Chứng minh AH là đường trung trực của BC.
Hình 121 minh họa biển giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô ở tỉnh Nghệ An (Hình 120).
Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có góc A bằng \({120^o}\). Các đường trung trực của AB và Ac lần lượt cắt Bc tại M và N. Tính số đo góc MAN.
Cho tam giác ABC có đường trung trực cạnh AC đi qua đỉnh B, chứng minh tam giác ABC là tam giác cân
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh AH là đường trung trực của BC.
