Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Giả sử \(SA = 5a\), \(AB = 3a\), \(AD = 4a\) và góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\varphi \). Tính \(\cos \varphi \).
Gọi \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC\). Ta chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), từ đó suy ra \(\varphi = \widehat {SAH}\).
Gọi \(H\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC\). Dễ dàng chứng minh được \(SH\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBM} \right)\). Hơn nữa, do \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), ta suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), tức \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) chính là góc \(\widehat {SAH}\), tức là \(\varphi = \widehat {SAH}\). Suy ra \(\cos \varphi = \cos \widehat {SAH} = \frac{{AH}}{{SA}}\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật, nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} = 5a\).
Ta có \(AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.4a = 2a\).
Do \(AM\parallel BC\), ta suy ra \(\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{{2a}}{{4a}} = \frac{1}{2}\). Như vậy \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra \(AH = \frac{{AC}}{3} = \frac{{5a}}{3}\).
Do đó \(\cos \varphi = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{5a}}{3}}}{{5a}} = \frac{1}{3}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(C\), mặt bên \(SAC\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Chứng minh rằng \(\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\). Vẽ đoạn thẳng \(S{\rm{D}}\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:
a) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAD} \right)\);
b) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\), hai mặt phẳng \(\left( {A'AB} \right)\) và \(\left( {A'AC} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh rằng \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\).
b) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(SC \bot EF\)
B. \(SC \bot AE\)
C. \(SC \bot AF\)
D. \(SC \bot BC\)
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).
b) Gọi O và H là trực tâm \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACD\). Chứng minh OH vuông góc với (ADC).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) cắt nhau và đường thẳng \(a\) nằm trong \(\left( P \right)\). Phát biểu nào sau đây là SAI?
A. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
B. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(a \bot b\) với mọi \(b \subset \left( Q \right)\).
C. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).
D. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(a \bot d\) với mọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).
Tìm mệnh đề đúng.
