Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(SC \bot EF\)
B. \(SC \bot AE\)
C. \(SC \bot AF\)
D. \(SC \bot BC\)
+ Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Vì ABCD là hình vuông nên \(AB \bot BC\).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Lại có: \(BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).
Mà SB là giao tuyến của (SBC) và (SAB), \(AE \bot SB\) nên \(EA \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AE \bot SC\).
Đáp án B đúng.
+ Vì ABCD là hình vuông nên \(AD \bot DC\).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\).
Do đó, \(DC \bot \left( {SAD} \right)\). Lại có: \(DC \subset \left( {SDC} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).
Mà SD là giao tuyến của (SDC) và (SAD), \(AF \bot SD\) nên \(FA \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AF \bot SC\).
Đáp án C đúng.
+ Vì \(AE \bot SC,AF \bot SC\) nên \(SC \bot \left( {AEF} \right)\). Do đó, \(SC \bot EF\).
Đáp án A đúng.
Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Do đó, tam giác SBC vuông tại B. Do đó, SC không thể vuông góc với BC.
Đáp án D sai.
Chọn D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(C\), mặt bên \(SAC\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh rằng \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Chứng minh rằng \(\left( {ABI} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), \(I\) là trung điểm của \(BC\), \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\). Vẽ đoạn thẳng \(S{\rm{D}}\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh rằng:
a) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAD} \right)\);
b) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh cùng bằng \(a\), hai mặt phẳng \(\left( {A'AB} \right)\) và \(\left( {A'AC} \right)\) cùng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh rằng \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\).
b) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).
b) Gọi O và H là trực tâm \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACD\). Chứng minh OH vuông góc với (ADC).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) cắt nhau và đường thẳng \(a\) nằm trong \(\left( P \right)\). Phát biểu nào sau đây là SAI?
A. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
B. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(a \bot b\) với mọi \(b \subset \left( Q \right)\).
C. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\).
D. Nếu \(a \bot \left( Q \right)\) thì \(a \bot d\) với mọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\), \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Giả sử \(SA = 5a\), \(AB = 3a\), \(AD = 4a\) và góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\varphi \). Tính \(\cos \varphi \).
Tìm mệnh đề đúng.
