Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(1;0;0)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M( - 1;0;0)\)
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có:\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \)
$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử \(M(m;0;0)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}\)
Suy ra
\(M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 \)
$= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$
\(\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M(1;0;0)\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j\). Tọa độ của điểm $M$ là
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho \(\overrightarrow {OM} = 2\vec j - \vec k\) và \(\overrightarrow {ON} = 2\vec j - 3\vec i\). Tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \) là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $AB$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2; - 3;5} \right),N\left( {6; - 4; - 1} \right)$ và đặt \(u = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Trong không gian $Oxyz$ cho ba vecto \(\vec a = \left( { - 1;1;0} \right),\vec b = \left( {1;1;0} \right),\vec c = \left( {1;1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
Trong không gian $Oxyz$ cho $3$ véc tơ: \(\vec a\left( {4;2;5} \right),\vec b\left( {3;1;3} \right),\vec c\left( {2;0;1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng
Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\sqrt 3 ,{\rm{ }}\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\) và $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {30^0}$. Độ dài của vectơ \(\left[ {5\overrightarrow a , - 2\overrightarrow b } \right]\) bằng:
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( {2;4; - 4} \right),B\left( {1;1; - 3} \right),C\left( { - 2;0;5} \right),D\left( { - 1;3;4} \right)$. Diện tích của hình bình hành $ABCD$ bằng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, các điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;3;4} \right),C\left( { - 1;1;2} \right)$ sẽ:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ \(\vec a = \left( {3; - 1; - 2} \right),\vec b = \left( {1;2;m} \right)\) và \(\vec c = \left( {5;1;7} \right)\). Giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để \(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {1;m;2} \right),\vec b = \left( {m + 1;2;1} \right)$ và \(\vec c = \left( {0;m - 2;2} \right)\). Giá trị \(m\) bằng bao nhiêu để ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng
Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:
Cho hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B( - 1;3;1)\). Tọa độ điểm $M$ nằm trên trục tung sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ .
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm\(A(1;1;1),B( - 1; - 1;0)\) và \(C(3;1; - 1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( {Oxy} \right)$ và cách đều các điểm \(A,B,C\) .
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(1;4;2)\) , \(B( - 1;2;4)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2} = 32\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Tọa độ chân đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\) là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A\left( {1;0;1} \right)$, $~B\left( 2;1;2 \right)$, $D\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(C'(4;5; - 5)\). Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(2; - 1;1)\), \(B(3;0; - 1)\), \(C(2; - 1;3)\) và $D$ thuộc trục $Oy$ . Tính tổng tung độ của các điểm $D$, biết thể tích tứ diện bằng $5$ .
