Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\) có tâm đối xứng nằm trên trục \(Ox\)? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y''=0$.
‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình \(y' = 0\).
\(y'=-3{{x}^{2}}-6x+m;y''=-6x-6;y''=0\Leftrightarrow x=-1\)
Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số có tung độ \(y = - {\left( { - 1} \right)^3} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + 1 = - m - 1\).
\(I\) nằm trên trục \(Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).
Khi \(m = - 1\), hàm số có dạng \(y = - {x^3} - 3{x^2} - x + 1\).
Khi đó \(y' = - 3{x^2} - 6x - 1\).
Phương trình \(y' = 0\) có biệt thức \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = 6 > 0\). Do đó phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua \(I\left( { - 1;0} \right)\).
Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt.
Các bài tập cùng chuyên đề
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - {x^3} + 3x + 1\);
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) là đường cong sau ?
Đường cong ở hình 29 là đồ thị của hàm số:
khảo sát về sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a,\(y = 2{x^3} - 3x + 1\)
b,\(y = - {x^3} + 3x - 1\)
c, \( y = {\left( {x - 2} \right)^3} + 4\)
d,\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\)
e, \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 2x + 1\)
g,\( y = - {x^3} - 3x\)
Hàm số nào có đồ thị như hình 32?
\(a,\;y = - {x^3} + 3x - 2\)
\(b,y = - {x^3} - 2\)
\(c,y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\)
\(d,\;y = {x^3} - 3x - 2\)
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} + x - 2\)
b) \(y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y’’ = 0.
b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \((a,b,c,d \in \mathbb{R})\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4\).
Đồ thị hàm số \(y = 4{x^3} - 6x + 1\) là đường cong nào trong các đường cong sau?
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} - x + 2\) là đường cong nào trong các đường cong sau?
Đường cong ở Hình 16 là đồ thị của hàm số:
A. \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 4\).
B. \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} - 4\).
C. \(y = {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 4\).
D. \(y = - {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\).
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là đường cong ở Hình 20.
a) \(a > 0\).
b) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục tung.
d) \(b < 0\).
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong như Hình 22. Căn cứ vào đồ thị hàm số:
a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)
c) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2.
d) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2.
e) Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại mấy điểm?
g) Với giá trị nào của \(x\) thì \( - 2 < f\left( x \right) < 2\)?
h) Tìm công thức xác định hàm số \(f\left( x \right)\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\);
b) \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\);
c) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\);
d) \(y = - \frac{1}{4}\left( {{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}}} \right)\).
Đường cong ở Hình 27 là đồ thị của hàm số:
A. \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 2\).
B. \(y = {x^3} - {x^2} + 2\).
C. \(y = - {x^3} + 3{\rm{x}} + 2\).
D. \(y = {x^3} + x + 2\).
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = x\left( {{x^2} - 4x} \right)\);
b) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\).
Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1\) (\(m\) là tham số).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = - 1\).
b) Tìm giá trị của \(m\) để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} = - 2\).
Cho hàm số \(y = 2{x^3} + 6{x^2} - x + 2\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
b) \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\)
c) \(y = - 2{x^3} + 2\)
d) \(y = - {x^3} - {x^2} - x + 1\)
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) là đường cong trong hình nào dưới đây?
