Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\);
b) \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\);
c) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\);
d) \(y = - \frac{1}{4}\left( {{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}}} \right)\).
Sơ đồ khảo sát hàm số:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
• Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
• Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số
• Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).
• Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản),…
• Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).
a) \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = {x^3} - 3{\rm{x}} - 2\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
2) Sự biến thiên:
• Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \).
• Bảng biến thiên:
\(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 3\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \({\rm{x}} = 1\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\); đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} = - 4\); hàm số đạt cực đại tại \(x = -1,{y_{CĐ}} = 0\).
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 2} \right)\).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 2; - 4} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {1; - 4} \right),\left( {2;0} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) như sau:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {0; - 2} \right)\).
b) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
2) Sự biến thiên:
• Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \).
• Bảng biến thiên:
\(y' = - {{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) hoặc \({\rm{x}} = 0\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = \frac{2}{3}\); hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CĐ}} = 2\).
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;2} \right)\).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 3;2} \right),\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right),\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right),\left( {0;2} \right),\left( {1;\frac{2}{3}} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\) như sau:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)\).
c) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
2) Sự biến thiên:
• Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \).
• Bảng biến thiên:
\(y' = 6{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 2 = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 1} \right)\).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 1; - 8} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {2;7} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\) như hình bên:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).
d) \(y = - \frac{1}{4}\left( {{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}}} \right) = - \frac{1}{4}{x^3} + \frac{3}{2}{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\)
1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
2) Sự biến thiên:
• Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \).
• Bảng biến thiên:
\(y' = - \frac{3}{4}{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(O\left( {0;0} \right)\).
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - \frac{7}{4}} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( {3; - \frac{9}{4}} \right),\left( {4; - 4} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\) như sau:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {2; - 2} \right)\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - {x^3} + 3x + 1\);
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 5x\).
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) là đường cong sau ?
Đường cong ở hình 29 là đồ thị của hàm số:
khảo sát về sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a,\(y = 2{x^3} - 3x + 1\)
b,\(y = - {x^3} + 3x - 1\)
c, \( y = {\left( {x - 2} \right)^3} + 4\)
d,\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 1\)
e, \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 2x + 1\)
g,\( y = - {x^3} - 3x\)
Hàm số nào có đồ thị như hình 32?
\(a,\;y = - {x^3} + 3x - 2\)
\(b,y = - {x^3} - 2\)
\(c,y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\)
\(d,\;y = {x^3} - 3x - 2\)
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} + x - 2\)
b) \(y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)
a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y’’ = 0.
b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4\).
Đồ thị hàm số \(y = 4{x^3} - 6x + 1\) là đường cong nào trong các đường cong sau?
Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} - x + 2\) là đường cong nào trong các đường cong sau?
Đường cong ở Hình 16 là đồ thị của hàm số:
A. \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - 4\).
B. \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} - 4\).
C. \(y = {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 4\).
D. \(y = - {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\).
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị là đường cong ở Hình 20.
a) \(a > 0\).
b) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
c) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía với trục tung.
d) \(b < 0\).
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong như Hình 22. Căn cứ vào đồ thị hàm số:
a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)
c) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2.
d) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2.
e) Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại mấy điểm?
g) Với giá trị nào của \(x\) thì \( - 2 < f\left( x \right) < 2\)?
h) Tìm công thức xác định hàm số \(f\left( x \right)\).
Đường cong ở Hình 27 là đồ thị của hàm số:
A. \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 2\).
B. \(y = {x^3} - {x^2} + 2\).
C. \(y = - {x^3} + 3{\rm{x}} + 2\).
D. \(y = {x^3} + x + 2\).
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = x\left( {{x^2} - 4x} \right)\);
b) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\).
Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1\) (\(m\) là tham số).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = - 1\).
b) Tìm giá trị của \(m\) để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} = - 2\).
Cho hàm số \(y = 2{x^3} + 6{x^2} - x + 2\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.
Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1\) có tâm đối xứng nằm trên trục \(Ox\)? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng \(\Delta \) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)
b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
b) \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\)
c) \(y = - 2{x^3} + 2\)
d) \(y = - {x^3} - {x^2} - x + 1\)
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) là đường cong trong hình nào dưới đây?
