Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\).
-
A.
Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100.\)
-
B.
Elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).
-
C.
Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10.\)
-
D.
Elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\)
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\).
Bước 3: Kết luận:
- Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\)
- Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)
- Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\)
- Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Gọi \(z = x + yi\). Khi đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức$z$.
Ta có : \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10 \)
$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10$.
Đặt ${F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)$, khi đó : \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}( = 4)\) nên tập hợp các điểm $M$ là elip $\left( E \right)$ có 2 tiêu điểm là ${F_1};{F_2}$ . Gọi $\left( E \right)$ có dạng : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a\\{F_1}{F_2} = 4 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} \)
Vậy tập hợp các điểm $M$ là elip : \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\).
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm điểm $M$ biểu diễn số phức \(z = i - 2\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {1 + i} \right)z = 3-i$. Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình bên ?
Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức \(w = iz + \overline z \).
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( {2-i} \right)z = 7-i$ . Hỏi điểm biểu diễn của $z$ là điểm nào trong các điểm $M,N,P,Q$ ở hình dưới.
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm \(M\) là điểm biểu diển của số phức \(z\) (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diển của số phức \(2z\)?
Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ và điểm $A$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của $z$. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \dfrac{1}{{iz}}$ là một trong bốn điểm $M,N, P, Q$. Khi đó điểm biểu diễn của số phức $w$ là
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = - 1 + 6i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(z' = - 1 - 6i\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1};{z_2}$ khác $0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?
Số phức \(z\) được biểu diễn trên trên mặt phẳng như hình vẽ.
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức $w = \dfrac{i}{{\overline z }}$
Trong mặt phẳng phức gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 3 + 2i;{z_2} = 3 - 2i;{z_3} = - 3 - 2i\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:
Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó
Cho số phức $z$ thỏa mãn \({(1 + z)^2}\) là số thực. Tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là:
Cho số phức $z$ thay đổi, luôn có $\left| z \right| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = (1 - 2i)\overline z + 3i$ là
Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
$w = \left( {3 + 4i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn điều kiện \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) là hình gì?
Cho số phức \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng
