Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
$w = \left( {3 + 4i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\\ \Rightarrow z = \dfrac{{w - i}}{{3 + 4i}} = \dfrac{{x + \left( {y - 1} \right)i}}{{3 + 4i}}\\ = \dfrac{{3x - 4\left( {y - 1} \right) + \left[ {3\left( {y - 1} \right) + 4x} \right]i}}{{25}}\end{array}\\\begin{array}{l}16 = {\left| z \right|^2} = {\left( {\dfrac{{3x - 4y + 4}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{4x + 3y - 3}}{{25}}} \right)^2}\\{\left[ {\dfrac{3}{{25}}x + \dfrac{4}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]^2} + {\left[ {\dfrac{{ - 4}}{{25}}x + \dfrac{3}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]^2} = 16\\ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{{25}}} \right)}^2}} \right]\\ + {\left( {y - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{4}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2}} \right] = 16\\ \Leftrightarrow {x^2}.\dfrac{1}{{25}} + {\left( {y - 1} \right)^2}.\dfrac{1}{{25}} = 16\\ \Rightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 400 \Rightarrow r = 20\end{array}\end{array}\)