Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {mx + 1} {\rm{\;}} - 1}}{x}\\4{x^2} + 5n\end{array} \right.\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x = 0}\end{array}\) \(\left( {m,n \in \mathbb{R}} \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n.
-
A.
\(m = 2n\)\(\)
-
B.
\(m = 5n\)
-
C.
\(m = 10n\)
-
D.
\(m = n\)
Nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Khử dạng vô định rồi tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\)từ đó suy ra mối liên hệ giữa m và n.
\(P = {a^2} + {b^2}\)
Ta có \(f\left( 0 \right) = 5n\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {mx + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {mx + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {mx + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {mx + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m}{{\sqrt {mx + 1} + 1}} = \frac{m}{2}\).
Vì hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 5n = \frac{m}{2} \Leftrightarrow m = 10n\).
Đáp án : C
Danh sách bình luận