Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {mx + 1} {\rm{\;}} - 1}}{x}\\4{x^2} + 5n\end{array} \right.\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\) \(\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x = 0}\end{array}\) \(\left( {m,n \in \mathbb{R}} \right)\) liên tục tại \({x_0} = 0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n.
-
A.
\(m = 2n\)\(\)
-
B.
\(m = 5n\)
-
C.
\(m = 10n\)
-
D.
\(m = n\)
Nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Khử dạng vô định rồi tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\)từ đó suy ra mối liên hệ giữa m và n.
\(P = {a^2} + {b^2}\)
Ta có \(f\left( 0 \right) = 5n\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {mx + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {mx + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {mx + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {mx + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m}{{\sqrt {mx + 1} + 1}} = \frac{m}{2}\).
Vì hàm số liên tục tại \({x_0} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 5n = \frac{m}{2} \Leftrightarrow m = 10n\).
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đáp án sai:
Chọn đáp án đúng:
Nếu\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\)thì:
Tính giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2 + x} \right)\)
Cho các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 1\),\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 4\).Tính
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]\)
Chọn đáp án đúng:
Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)có giới hạn L khi \(x \to {x_0}\) có kí hiệu là:
Số M là giới hạn trái của hàm số \(y = f\left( x \right)\)tại \(x = {x_0}\)có kí hiệu là:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} + {x^5} + 1} \right)\) bằng:
Tính giới hạn của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^3} + 3{x^2} + 4}}{{2{x^3}}}\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {\frac{{\left( {{x^2} + 3} \right)x}}{{{x^3} - 1}}} \)bằng
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3{\,\,\rm{ khi\,\, x}} \ge {\rm{2}}\\x - 1{\,\,\rm{ khi \,\,x < 2}}\end{array} \right.\). Chọn kết quả đúng của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\frac{{ - {x^2} - x + 6}}{{{x^2} + 3x}}} \right|\)
Giá trị của giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3 - x}}{{\sqrt {27 - {x^3}} }}\)bằng:
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\left| x \right|}^5} + x + 1} \right)\)
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \frac{{12 - {x^2}}}{{5 - x}}\)là:
Tìm giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^n} - 1}}{{{x^m} - 1}},{\rm{ m,n}} \in {\mathbb{N}^*}\) :
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {x + 5} - \sqrt {x - 6} } \right)\) là
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).\tan x\)
Cho a, b là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2}\).
