Tìm giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^n} - 1}}{{{x^m} - 1}},{\rm{ m,n}} \in {\mathbb{N}^*}\) :
-
A.
0
-
B.
\( + \infty \)
-
C.
\(\frac{m}{n}\)
-
D.
\(\frac{n}{m}\)
Áp dụng hằng đẳng thức \({x^n} - 1 = (x - 1)({x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1)\)
Khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^n} - 1}}{{{x^m} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)({x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1)}}{{(x - 1)({x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + {x^{m - 3}} + ... + x + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1}}{{{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + {x^{m - 3}} + ... + x + 1}} = \frac{{1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}} = \frac{n}{m}\end{array}\)
Chọn đáp án D
Đáp án : D
Danh sách bình luận