Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Cho tứ diện đều (ABCD). Chứng minh rằng (AB bot CD).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):

Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.

Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).

Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\).

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(N\) là trung điểm của \(BC\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

\(M\) là trung điểm của \(AC\)

\(P\) là trung điểm của \(AD\)

\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\)

Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\)

Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(MNP\) có:

\(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\)

Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABC) có (SA = SB = SC = a,widehat {BSA} = widehat {CSA} = {60^ circ },) (widehat {BSC} = {90^ circ }).
Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện đều (ABCD) cạnh (a). Gọi (K) là trung điểm của (CD).
Bài 5 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ diện (ABCD). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (BC) và (A{rm{D}}).
Bài 6 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều (ABCDEF) song song với mặt bàn và có cạnh (AB) song song với cạnh bàn (a) (Hình 5).
Bài 1 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình thoi (ABCD) cạnh (a). Cho biết (SA = asqrt 3 ,SA bot AB) và (SA bot A{rm{D}}).
Giải mục 2 trang 55 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D') có 6 mặt đều là hình vuông
Giải mục 1 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng chéo nhau (a) và (b) trong không gian. Qua một điểm (M)
Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc - Toán 11 Chân trời sáng tạo
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.