Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (left( {0 le t < 24} right)) cho bởi công thức (h = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12). Tìm t để độ sâu của mực nước là

Đề bài

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $\left( {0 \le t < 24} \right)$ cho bởi công thức $h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12$. Tìm t để độ sâu của mực nước là

a) 15m

b) 9m

c) 10,5m

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos

Lời giải chi tiết

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì: \[ h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 15 \] \[ \Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = 1 \] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ \Leftrightarrow t = -\frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do $0 \leq t < 24$ nên $0 \leq -\frac{6}{\pi} + 12k < 24$ \[ \Leftrightarrow \frac{6}{\pi} \leq 12k < 24 + \frac{6}{\pi} \] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi} \leq k < 2 + \frac{1}{2\pi} \] Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{1; 2\}$.

Với $k = 1$ thì $t = -\frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 10,09$ (giờ);

Với $k = 2$ thì $t = -\frac{6}{\pi} + 12.2 \approx 22,09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

\[
h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 9
\]

\[
\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = -1
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

\[
\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Do $0 \leq t < 24$ nên $0 \leq 6 - \frac{6}{\pi} + 12k < 24$

\[
\Leftrightarrow -6 + \frac{6}{\pi} \leq 12k < 18 + \frac{6}{\pi}
\]

\[
\Leftrightarrow -\frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \leq k < \frac{3}{2} + \frac{1}{2\pi}
\]

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1\}$.

Với $k = 0$ thì $t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.0 \approx 4,09$ (giờ);

Với $k = 1$ thì $t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 16,09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là $10,5 \mathrm{~m}$ thì:
$$
\begin{aligned}
& h=3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5 \\
& \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi \\
\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=-\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi
\end{array} \quad(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
t=4-\frac{6}{\pi}+12 k \\
t=-4-\frac{6}{\pi}+12 k(2)
\end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\
&
\end{aligned}
$$

- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (1) ta có: $0 \leq 4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow-4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<20+\frac{6}{\pi} \\
& \Leftrightarrow-\frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2 \pi}
\end{aligned}
$$

Mà $k \in Z$ nên $k \in\{0 ; 1\}$.
Với k $=0$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.0 \approx 2,09$ (giờ);
Với k $=1$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 14,09$ (giờ).
- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (2) ta có: $0 \leq-4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<28+\frac{6}{\pi} \\
& \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2 \pi}
\end{aligned}
$$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in\{1 ; 2\}$.
Với k $=1$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 6,09$ (giờ);
Với k $=2$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.2 \approx 18,09$ (giờ).
Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là $10,5 \mathrm{~m}$.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 14 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số (y = 4,8sin frac{x}{9}) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.
Bài 12 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Giải các phương trình sau:
Bài 11 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Vẽ đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.
Bài 10 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Số nghiệm của phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là:
Bài 9 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Phương trình $\cot x = - 1$ có nghiệm là:
Bài 8 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn $\left[ {0;10\pi } \right]$ là:
Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn $\left[ {0;10\pi } \right]$ là
Bài 6 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Nếu $\sin a = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ thì \
Bài 5 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Nếu $\cos a = \frac{3}{5}$ và $\cos b = - \frac{4}{5}$ thì $\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)$ bằng:
Bài 4 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Nếu $\cos a = \frac{1}{4}$ thì $\cos 2a$ bằng:
Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Nếu (tan left( {a + b} right) = 3,tan
Bài 2 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ là:
Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng: