Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức - Toán 9

Ta gọi hệ thức dạng \(a > b\) (hay \(a < b\), \(a \ge b\), \(a \le b\)) là bất đẳng thức.

Trong đó a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Nếu \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c\).

Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\).

Nếu \(a \le b\) và \(b \le c\) thì \(a \le c\).

Nếu \(a \ge b\) và \(b \ge c\) thì \(a \ge c\).

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\).

Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\).

Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\).

Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\).

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c > 0, ta có:

Nếu \(a < b\) thì \(ac < bc\).

Nếu \(a > b\) thì \(ac > bc\).

Nếu \(a \le b\) thì \(ac \le bc\).

Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \ge bc\).

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:

Nếu \(a < b\) thì \(ac > bc\).

Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc\).

Nếu \(a \le b\) thì \(ac \ge bc\).

Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \le bc\).

- Nếu \(f\left( x \right) \ge k\) (\(k\) là hằng số) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = a\) thì giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(k\) khi và chỉ khi \(x = a\).

Ta viết \(\min f\left( x \right) = k\) khi và chỉ khi \(x = a\).

- Nếu \(f\left( x \right) \le k\) (\(k\) là hằng số) và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = a\) thì giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là \(k\) khi và chỉ khi \(x = a\).

Ta viết \(\max f\left( x \right) = k\) khi và chỉ khi \(x = a\).