Nghiệm và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 10

Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ.

Ví dụ minh hoạ:

Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)

Cặp số \((0;0)\) không là nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng mặt phẳng toạ độ. Gạch bỏ miền không là nghiệm.

Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Ví dụ minh hoạ:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)

Giải:

- Xác định miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\):

Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).

Vì \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

- Xác định miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\):

Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0;6).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).

Vì  \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

Miền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.