Cách xác định hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn của miền nghiệm cho trước - Toán 10

a) Tự luận

Bước 1: Xác định đường thẳng giới hạn miền nghiệm có dạng tổng quát \(y = ax + b\).

+ Tìm toạ độ 2 điểm thuộc đường thẳng đó.

+ Từ 2 điểm trên, thay toạ độ tương ứng vào phương trình \(y = ax + b\), được một hệ 2 phương trình ẩn a, b.

+ Giải hệ tìm a, b. Kết luận đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) hay \(ax – y = b\).

Bước 2: Thay toạ độ 1 điểm bất kì thuộc nửa mặt phẳng miền nghiệm (không thuộc đường thẳng) vào biểu thức \(\(ax – y \).

+ Đường thẳng được biểu diễn bằng nét đứt: Nếu \(ax – y > b\) thì kết luận bất phương trình là \(ax – y > b\), nếu \(ax – y < b\) thì kết luận bất phương trình là \(ax – y < b\).

+ Đường thẳng được biểu diễn bằng nét liền: Tương tự như trên, thay dấu < thành \(\le\), thay dấu > thành \(\ge\).

b) Trắc nghiệm

Chọn 1 điểm bất kì thuộc miền nghiệm, thay toạ độ điểm đó vào hệ bất phương trình. Nếu hệ thoả mãn thì đó là hệ bất phương trình của miền nghiệm cho trước.

Lưu ý: Quan sát các đường thẳng là nét liền hay nét đứt để chọn đúng.

1) Phần không tô đậm (không kể biên) trong hình vẽ sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình cho dưới đây?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge 0}\\{2x - y \ge 1}\end{array}} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y > 0}\\{2x - y > 1}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y < 0}\\{2x - y > 1}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y < 0}\\{2x - y < 1}\end{array}} \right.\)

Giải:

Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A.

Lấy điểm M(0;1) không thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình trong hệ bất phương trình, thay toạ độ điểm M vào đáp án B, C, D, nếu không thoả mãn cả hai bất phương trình trong hệ thì đáp án đúng.

Xét đáp án B, ta thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 - 1 =  - 1 > 0}\\{2.0 - 1 = 1 > 1}\end{array}} \right.\) không thoả mãn cả hai bất phương trình. Chọn B.

Xét đáp án C, ta thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 - 1 =  - 1 < 0}\\{2.0 - 1 = 1 > 1}\end{array}} \right.\) thoả mãn một bất phương trình. Loại C.

Xét đáp án D, ta thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 - 1 =  - 1 < 0}\\{2.0 - 1 = 1 < 1}\end{array}} \right.\) thoả mãn một bất phương trình. Loại D.

Đáp án là B.

2) Phần không gạch chéo (không kể bờ d) trong hình dưới đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào?

Giải:

Giả sử bờ d có phương trình y = ax + b (a khác 0).

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A (0;2) và B (-4;0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = 0.a + b\\0 =  - 4.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\).

+ Điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm: \(0 - 2.0 + 4 = 4 > 0\), không kể đường thẳng d.

Vậy bất phương trình cần tìm là \(x - 2y + 4 > 0\).