Hai mặt phẳng song song là gì? Cách chứng minh hai mặt phẳng song song - Toán 11

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song): Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Định lí 2 (tính chất về hai mặt phẳng song song): Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Nếu mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) thì cũng cắt mặt phẳng (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh có hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia.

Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), ta chứng minh d thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song với \(\left( \alpha  \right)\).

1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, AD.

a) Chứng minh rằng (OMN) ∥ (SBC).

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON, SB. Chứng minh: PQ ∥ (SBC), (MOR) ∥ (SCD).

Giải:

a) Trong hai tam giác SAC và SBD có OM ∥ SC và ON ∥ SB (đường trung bình của tam giác).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OM,ON \subset (OMN)}\\{SB,SC \subset (SBC)}\end{array}} \right. \Rightarrow (OMN)\parallel (SBC)\).

b) Ta có: OP ∥ AD, mà AD ∥ MN nên suy ra OP ∥ MN và PQ ⊂ (OMN). Vì (OMN) ∥ (SBC) nên suy ra PQ ∥ (SBC). Ta có: MR ∥ AB, mà AB ∥ CD nên suy ra MN ∥ CD.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MR,OM \subset (OMR)}\\{CD,SC \subset (SCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \) (OMR) ∥ (SCD).

2) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, EF. Chứng minh rằng:

a) \((ADF)\parallel (BCE)\).

b) \((DIK)\parallel (JBE)\).

Giải:

a) Ta có: \(AF\parallel BE\) và \(AD\parallel BC\). 

Mà \(AF,AD \subset (ADF)\) và \(BE,BC \subset (BCE)\) nên suy ra \((ADF)\parallel (BCE)\).

b) Ta dễ dàng chứng minh được BIDJ và BIKE là hình bình hành. Từ đó suy ra \(DI\parallel BJ\) và \(IK\parallel BE\). 

Suy ra \((DIK)\parallel (JBE)\).

3) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có cạnh chung là AB và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và I, J, K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF, ADC và BCE. Chứng minh (IJK) ∥ (CDFE).

Giải:

Xét \(\Delta MFC\) có:

\(\frac{{MI}}{{MF}} = \frac{{MJ}}{{MC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IJ\parallel FC\) (1).

Xét hình bình hành MNEF có:

\(\frac{{MI}}{{MF}} = \frac{{NK}}{{NE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IK\parallel FE\) (2).

Từ (1) và (2) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IJ\parallel FC,IK\parallel FE}\\{IJ,IK \subset (IJK)}\\{FC,FE \subset (CDFE)}\end{array}} \right. \Rightarrow (IJK)\parallel (CDFE)\).

4) Cho hình chóp S.ABCD, mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’ và D’. Tìm điều kiện của mặt phẳng (P) để A’B’C’D’ là hình bình hành.

Giải:

Ta có A'B'C'D' là hình bình hành \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\parallel C'D'\\A'D'\parallel B'C'\end{array} \right.\)

Gọi \(E = AB \cap CD\) và \(F = AD \cap BC\). Ta có \(SE = (SAB) \cap (SCD)\), \(SF = (SAD) \cap (SBC)\).

Ta lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'B' = (P) \cap (SAB)}\\{C'D' = (P) \cap (SCD)}\\{SE = (SAB) \cap (SCD)}\\{A'B'\parallel C'D'}\end{array}} \right. \Rightarrow SE\parallel A'B'\parallel C'D'\).

\( \Rightarrow SE\parallel (P)\) (theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng).

Tương tự, \(SF\parallel (P)\).

Vậy, nếu \((P)\parallel SE\) và \((P)\parallel SF\) thì A'B'C'D' là hình bình hành.