Góc nhị diện, góc phẳng nhị diện là gì? Cách tính số đo góc nhị diện - Toán 11

Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng \({90^o}\) thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Số đo của góc nhị diện từ \({0^o}\) đến \({180^o}\).

Tính số đo của góc phẳng nhị diện.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, \(SA \bot (ABC)\), \(SA = a\sqrt 3 \). Tính số đo của mỗi góc nhị diện sau:

a) [B, SA, C];

b) [A, BC, S].

Giải:

a) Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot AB\), \(SA \bot AC\). Do đó, góc \(\widehat {BAC}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C].

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên \(\widehat {BAC} = {45^o}\). Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, C] bằng \({45^o}\).

b) Vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\). Mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot (SAB)\), suy ra \(BC \bot SB\). Do đó góc \(\widehat {SBA}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S].

Trong tam giác vuông SAB, ta có:

\(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {SBA} = {60^o}\).

Vậy số đo của góc nhị diện [A, BC, S] bằng \({60^o}\).

2) Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot (ABCD)\), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a, AC = a, \(SA = \frac{1}{2}a\). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC.

a) Tính số đo của các góc nhị diện [B, SA, D]; [S, BD, A]; [S, BD, C].

b) Chứng minh rằng BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Giải:

a) Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên AB và AD vuông góc với SA. Vậy \(\widehat {BAD}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D].

Hình thoi ABCD có cạnh bằng a và AC = a nên các tam giác ABC, ACD đều. Do đó \(BAD = {120^o}\). Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng \({120^o}\).

Vì \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SA\) nên \(BD \bot (SAC)\). Vậy AC và SO vuông góc với BD. Suy ra \(\widehat {AOS}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, A] và \(\widehat {COS}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, C].

Tam giác SAO vuông tại A và có \(SA = \frac{1}{2}a = AO\) nên \(\widehat {AOS} = {45^o}\). Suy ra \(\widehat {COS} = {180^o} - \widehat {AOS} = {135^o}\).

Vậy các góc nhị diện [S, BD, A], [S, BD, C] tương ứng có số đo là \({45^o}\), \({135^o}\).

b) Theo chứng minh trên, \(BD \bot (SAC)\) nên \(BD \bot SC\). Mặt khác, \(OH \bot SC\) nên \(SC \bot (BHD)\). Do đó, \(\widehat {BHD}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].