Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải toán lớp 12 Chân trời sáng tạo Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản - Toá..

Giải mục 4 trang 30,31,32 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo


Khảo sát hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}(a \ne 0,m \ne 0\), đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

 

 

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

 

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = x - \frac{1}{x}\)

b) \(y =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\)

 

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

 

Lời giải chi tiết:

a) \(y = x - \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

  • Chiều biến thiên:

\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D

  • Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - \frac{1}{x}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (x - \frac{1}{x}) =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0\) nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) =  + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  • Bảng biến thiên:

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) \(y =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

  • Chiều biến thiên:

\(y' =  - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); -2), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

  • Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  + \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) =  - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2\) nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  + \infty \) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

  • Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\); 0) và (\(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\);0)

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store