Giải bài 9.3 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hàm số

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2},}&{x \ge 0}\\{1 - 2x\,\,\,\,,}&{x < 0}\end{array}} \right.\). Tính \(f'\left( 0 \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm \(x = 0\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}},\,\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)

Nếu \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) thì \(f'(0) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).

Lời giải chi tiết

Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm \(x = 0\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1\) và

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{(x - 1)}^2} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {x - 1 - 1} \right)\left( {x - 1 + 1} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 = - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{(1 - 2x) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 2} \right) = - 2\)

Vậy \(f'\left( 0 \right) = - 2\).